Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014
Link Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014 chính thức:
Tải về máy (92 KB)BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT
NĂM 2014
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (ko nói thời gian giao đề)
Ngày thi đầu tiên: 03/01/2014
Bài 1 (5.0 điểm).
Cho đôi dãy số dương (xn), (yn) xác định bởi x1 = 1, y1 = √3 và
cùng mọi n = 1, 2... Chứng minh là đôi dãy số trên hội tụ và tìm có hạn của chúng.
Bài 2 (5.0 điểm).
Cho đa thức P(x) = (x2 - 7x + 6)2n cùng n là số nguyên dương. Chứng minh là P(x) không thể biểu diễn được dưới dạng tích của n + 1 đa thức khác hằng số cùng hệ số nguyên.
Bài 3 (5.0 điểm).
Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh những đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
1. Tìm tất cả những giá trị có thể được của cặp (A, B).
2. Xác định số cách tô màu những đỉnh của đa giác để B = 14. Biết là, đôi cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Bài 4 (5.0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) cùng AB < AC. Gọi I là trung điểm cung BC ko chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK = IC. Đường thẳng BK cắt (O) tại D (D # B) và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F.
1. Chứng minh là EF = BC/2.
2. Trên DI lấy điểm M sao cho CM nhưng nhưng cùng AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK cắt (O) tại P (P # B). Chứng minh là đường thẳng PK chạy qua trung điểm đoạn thẳng AD.
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (ko nói thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai: 04/01/2014
Bài 5 (7.0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trong đấy B, C cố định và A thay đổi trên (O). Trên những tia AB và AC lần lượt lấy những điểm M và N sao cho MA = MC và NA = NB. Các đường tròn ngoại tiếp những tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P (P # A). Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q.
1. Chứng minh là ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
2. Gọi D là trung điểm BC. Các đường tròn có tâm là M, N với chạy qua A cắt nhau tại K (K # A). Đường thẳng qua A vuông góc cùng AK cắt BC tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại F (F # A). Chứng minh là đường thẳng AF chạy qua một điểm cố định.
Bài 6 (7.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
cùng x, y, z là những số thực dương.
Bài 7 (6.0 điểm).
Tìm tất cả những bộ số gồm 2014 số hữu tỉ ko nhất thiết nhận ra, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ chạy một vài bất cứ trong bộ số đấy thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả những số trong mỗi nhóm bằng nhau.
Download tài liệu để xem chi tiết.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2014 |
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (ko nói thời gian giao đề)
Ngày thi đầu tiên: 03/01/2014
Bài 1 (5.0 điểm).
Cho đôi dãy số dương (xn), (yn) xác định bởi x1 = 1, y1 = √3 và
cùng mọi n = 1, 2... Chứng minh là đôi dãy số trên hội tụ và tìm có hạn của chúng.
Bài 2 (5.0 điểm).
Cho đa thức P(x) = (x2 - 7x + 6)2n cùng n là số nguyên dương. Chứng minh là P(x) không thể biểu diễn được dưới dạng tích của n + 1 đa thức khác hằng số cùng hệ số nguyên.
Bài 3 (5.0 điểm).
Cho đa giác đều có 103 cạnh. Tô màu đỏ 79 đỉnh của đa giác và tô màu xanh những đỉnh còn lại. Gọi A là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và B là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
1. Tìm tất cả những giá trị có thể được của cặp (A, B).
2. Xác định số cách tô màu những đỉnh của đa giác để B = 14. Biết là, đôi cách tô màu được xem là như nhau nếu chúng có thể được từ nhau qua một phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Bài 4 (5.0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) cùng AB < AC. Gọi I là trung điểm cung BC ko chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK = IC. Đường thẳng BK cắt (O) tại D (D # B) và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳng AC tại F.
1. Chứng minh là EF = BC/2.
2. Trên DI lấy điểm M sao cho CM nhưng nhưng cùng AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳng BC tại N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK cắt (O) tại P (P # B). Chứng minh là đường thẳng PK chạy qua trung điểm đoạn thẳng AD.
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
Thời gian: 180 phút (ko nói thời gian giao đề)
Ngày thi thứ hai: 04/01/2014
Bài 5 (7.0 điểm).
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), trong đấy B, C cố định và A thay đổi trên (O). Trên những tia AB và AC lần lượt lấy những điểm M và N sao cho MA = MC và NA = NB. Các đường tròn ngoại tiếp những tam giác AMN và ABC cắt nhau tại P (P # A). Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại Q.
1. Chứng minh là ba điểm A, P, Q thẳng hàng.
2. Gọi D là trung điểm BC. Các đường tròn có tâm là M, N với chạy qua A cắt nhau tại K (K # A). Đường thẳng qua A vuông góc cùng AK cắt BC tại E. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE cắt (O) tại F (F # A). Chứng minh là đường thẳng AF chạy qua một điểm cố định.
Bài 6 (7.0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
cùng x, y, z là những số thực dương.
Bài 7 (6.0 điểm).
Tìm tất cả những bộ số gồm 2014 số hữu tỉ ko nhất thiết nhận ra, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ chạy một vài bất cứ trong bộ số đấy thì 2013 số còn lại có thể chia thành 3 nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm 671 số và tích tất cả những số trong mỗi nhóm bằng nhau.
Download tài liệu để xem chi tiết.
Link Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT năm 2014 mới nhất:
Tải về máy (92 KB)